El principio de dualidad
La presente entrada solo tiene la función de constatar que es posible que dos rectas paralelas se junten en el infinito. Creo que será de provecho para algunos. No diré más, los aludidos saben que disponen de un espacio en el blog para dejar sus comentarios:
En el plano euclídeo habitual es evidente que dos puntos definen una recta, justo aquella que los contiene. Al revés, sin embargo, no es cierto, pues dos rectas, además de cortarse y definir por tanto un punto, también pueden ser paralelas.
Esta excepción desaparece en el caso del plano proyectivo, pues en él, por definición, cada haz de rectas paralelas define un punto del infinito, por lo que se dice aquello de que las rectas paralelas se cortan "en el infinito".
La completa simetría de estas dos proposiciones ("dos puntos definen una recta", "dos rectas definen un punto") en el plano proyectivo es la base del principio de dualidad, truco genial por el cual todo lo que se dice de los puntos puede decirse de las rectas, y al revés (esta simetría puede entenderse si pensamos que para situar un punto en el plano se necesitan dos números, sus coordenadas, y para situar una recta, igualmente dos números: su pendiente y su ordenada en el origen). (...)"
Para la Ciencia Clásica, el universo se puede modelar con la geometría euclideana. Sin embargo, ahora se sabe que la naturaleza favorece el CAOS y no la "perfección", ya que ese caos es el que permite la aparición de sistemas físicos y biológicos viables. Por ejemplo, los alveolos siguen una "distribución" que resuelve de una manera elegante y eficiente el problema ingenieril sobre como presentar la mayor área expuesta dentro del menor volumen posible (al igual que la corteza cerebral).
Cuando Riemann demostró que la geometría sólo es una creación mental y arbitraria, las matemáticas se tambalearon y comenzó el estudio de nuevos tipos de geometría:
* Geometría Esférica (curvatura positiva): donde dos líneas paralelas terminan cortándose
* Geometría Hiperbólica (curvatura negativa): donde dos líneas paralelas cada vez se separan más, etc.
Otros
http://www.jovenclub.cu/libros/libros_1/ciencia2/41/htm/SEC_20.HTM
http://www.epsilones.com/paginas/t-historias2.html#historias-dualidad
En dibujo GEOMETRIA PROYECTIVA
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Exposiciones/ExpoDe/Dali/Archivos/dali7_bis.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva
http://www.librosmaravillosos.com/grandesmatematicos/capitulo13.html
CONCLUSIÓN
A los niños les diré que dos rectas paralelas no se cortan en el infinito ni más allá.
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